Примерный перечень вопросов, выносимых на экзамен по дисциплине «Компьютерное обеспечение математических вычислений»

1. Представление чисел в системе с плавающей запятой. Параметры, определяющие систему.
2. Абсолютная и относительная погрешности вычислений. Машинный эпсилон.
3. Что такое неустойчивость алгоритмов? Привести пример.
4. Что такое неустойчивость задачи? Привести пример.
5. Причины возникновения погрешностей в численных результатах.
6. Схема Горнера для вычисления значений полинома. Представление по схеме Горнера интерполяционного многочлена Ньютона.
7. Вычисление показательной функции с помощью степенного ряда. Оценка погрешности.
8. Вычисление логарифма с помощью степенного ряда. Оценка погрешности.
9. Вычисление синуса с помощью степенного ряда. Оценка погрешности.
10. Вычисление косинуса с помощью степенного ряда. Оценка погрешности.
11. Вычисление значений функции с помощью метода итераций. Оценка погрешности.
12. Вычисление квадратного корня с помощью метода итераций.
13. Вычисление кубического корня с помощью метода итераций.
14. Использование правила Декарта для отделения корней алгебраического уравнения.
15. Методы отделения корней уравнений.
16. Метод пропорциональных частей (метод хорд) для решения уравнений.
17. Вывести формулу для оценки погрешности приближенного значения корня уравнения f(x)=0.
18. Метод Ньютона (метод касательных) для решения уравнений. Выбор начального приближения.
19. В чем состоит модернизированный метод Ньютона для решения уравнений? Выбор начального приближения.
20. В чем состоит комбинированный метод решения уравнений?
21. Метод итераций для решения уравнений. Условие сходимости метода.
22. Теорема о сходимости метода итераций для решения уравнений.
23. Оценка погрешности приближенного значения корня уравнения, полученного с помощью метода итераций.
24. Методы выбора функций, удовлетворяющих условию сходимости процесса итераций для решения уравнений.
25. Метод Ньютона для решения системы из двух нелинейных уравнений.
26. При каком условии существует единственное решение системы линейных алгебраических уравнений?
27. Привести краткое описание метода Гаусса для решения системы линейных алгебраических уравнений. Какова оценка количества умножений и делений, необходимых при решении системы из n уравнений методом Гаусса?
28. Показать на примере возможность описания преобразований, осуществляемых при решении системы линейных алгебраических уравнений методом Гаусса, с помощью произведения матриц.
29. Вычисление определителей с использованием метода Гаусса.
30. Схема Жордана (схема без обратного хода) для решения систем линейных алгебраических уравнений.
31. Каковы невязка и погрешность решения системы линейных алгебраических уравнений при использовании метода Гаусса?
32. Что такое число обусловленности матрицы? Как связаны между собой оценки погрешности решения системы линейных алгебраических уравнений и погрешности представления правой части системы?
33. В чем состоит метод прогонки для решения системы линейных алгебраических уравнений с трехдиагональной матрицей?
34. В чем состоит итерационный метод для решения системы линейных алгебраических уравнений? Условия сходимости метода. Оценка погрешности решения. Метод Зейделя.
35. Какая система линейных алгебраических уравнений называется нормальной?
36. Теорема о приведении произвольной системы линейных алгебраических уравнений к нормальной.
37. Постановка задачи интерполяции. Система уравнений для нахождения коэффициентов интерполирующей суммы.
38. Интерполяция функций алгебраическими полиномами. Система уравнений для нахождения коэффициентов полиномов. Существование и единственность интерполяционного полинома.
39. Интерполяционный многочлен Лагранжа в разной записи.
40. Оценка остаточного члена интерполяционного полинома Лагранжа.
41. Разделенные разности. Рекуррентное определение. Общая формула для разделенной разности n-го порядка.
42. Формула для оценки погрешности интерполирования с использованием разделенной разности. Оценка производной с помощью разделенной разности.
43. Первая и вторая интерполяционные формулы Ньютона с использованием разделенных разностей.
44. Конечные разности. Общая формула для конечной разности n-го порядка.
45. Доказательство формулы, связывающей конечные и разделенные разности.
46. Первая и вторая интерполяционные формулы Ньютона с использованием конечных разностей.
47. Характер изменения погрешности интерполяции в пределах отрезка интерполирования. Расположение узлов интерполяции, позволяющее снизить погрешности при наличии равномерной и неравномерной сеток.
48. Общая и рекуррентная формулы для многочлена n-го порядка, наименее уклоняющегося от нуля на отрезке [-1,1].
49. Расположение нулей и экстремумов многочлена Чебышева. Величина максимального отклонения от нуля.
50. Расположение нулей многочлена, наименее отклоняющегося от нуля на произвольном отрезке [a,b].
51. Постановка вопроса о сходимости интерполяционного процесса. Теорема Фабера. Аппроксимационная теорема Вейерштрасса.
52. Постановка задачи сплайновой интерполяции. Вид сплайновой функции с использованием безразмерного аргумента . Производные сплайновой функции.
53. Вывод условия сшивания сплайнов во внутренних узлах отрезка интерполирования.
54. Варианты выбора условий для сплайнов на концах отрезка интерполирования.
55. Решение системы уравнений для коэффициентов естественного сплайна методом прогонки.
56. Сходимость процесса сплайновой интерполяции.
57. Пременение операторов непосредственного и задержанного присваивания в системе

Вопросы по программному пакету «Mathematica»

58. Графические возможности системы Математика. Графические опции.
59. Сохраняемость данных в течение сеанса работы в системе Математика.
60. Циклические операции в системе Математика.
61. Программирование в системе Математика. Модули.
62. Основные команды работы со списками в системе Математика Матрицы и векторы.
63. Выражения и их преобразования.
64. Чистые и анонимные функции.

Copyright © 2001 by HackMaster